mmf2-10

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
mmf2-10 [2025/04/23 09:43] – rootmmf2-10 [2026/04/29 09:27] (текущий) – [Задачи] root
Строка 1: Строка 1:
-$\omega(\varepsilon_i) = \frac{1}{Z} g_i e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}},$$+===== Семинар 10.=====  
 +СТАТИСТИЧЕСКИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ И KBAHTOВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ. РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ ПРОЦЕССЫ 
 + 
 +Рассмотрим макроскопическую систему, являющуюся малой частью 
 +большой замкнутой системы («среды») и находящуюся с ней в термодинамическом равновесии. Согласно квантовому распределению Гиббса, вероятность пребывания системы в состоянии C энергией $\varepsilon_i$ есть 
 + 
 +$$\omega(\varepsilon_i) = \frac{1}{Z} g_i e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}},$$
  
 где $g_i$ - кратность вырождения, т.е. число микроскопических состояний с энергией $\varepsilon_i$ при температуре $T$; $k = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж $\cdot$ К$^{-1}$ - постоянная Больцмана; нормировочный коэффициент $Z = \sum_i g_i e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}$ называется статистической суммой. где $g_i$ - кратность вырождения, т.е. число микроскопических состояний с энергией $\varepsilon_i$ при температуре $T$; $k = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж $\cdot$ К$^{-1}$ - постоянная Больцмана; нормировочный коэффициент $Z = \sum_i g_i e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}$ называется статистической суммой.
Строка 5: Строка 11:
 Энергия классической системы всегда может быть представлена в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. При некоторых предположениях распределения по кинетической и потенциальной энергиям являются независимыми и приводят соответственно к распределениям Максвелла и Больцмана. Энергия классической системы всегда может быть представлена в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. При некоторых предположениях распределения по кинетической и потенциальной энергиям являются независимыми и приводят соответственно к распределениям Максвелла и Больцмана.
  
-Распределения Максвелла. Следствием из распределения Гиббса является распределение Максвелла по кинетической энергии $\varepsilon$ частиц системы:+==== Распределения Максвелла. ==== 
 +Следствием из распределения Гиббса является распределение Максвелла по кинетической энергии $\varepsilon$ частиц системы:
  
-d\omega_{\varepsilon} = 2 \sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi (kT)^3}} e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} d\varepsilon.+$$d\omega_{\varepsilon} = 2 \sqrt{\frac{\varepsilon}{\pi (kT)^3}} e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} d\varepsilon.$$
  
 Здесь предполагается, что потенциальная энергия не зависит от скоростей и что распределения для различных частиц системы независимы. Далее, используя тот факт, что распределения по разным проекциям скоростей также независимы, приходим к распределениям по скоростям: Здесь предполагается, что потенциальная энергия не зависит от скоростей и что распределения для различных частиц системы независимы. Далее, используя тот факт, что распределения по разным проекциям скоростей также независимы, приходим к распределениям по скоростям:
  
-$$d\omega_v = \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{1/2} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv,$$+$$d\omega_{v_x} = \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{1/2} e^{-\frac{mv_x^2}{2kT}} dv,$$
  
 $$d\omega_{v_x, v_y, v_z} = \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv_x dv_y dv_z,$$ $$d\omega_{v_x, v_y, v_z} = \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv_x dv_y dv_z,$$
  
-$$d\omega = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv.$$+$$d\omega_v = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv.$$
  
 При использовании приведенных распределений часто возникают интегралы вида: При использовании приведенных распределений часто возникают интегралы вида:
Строка 23: Строка 30:
 где $\Gamma$ - гамма-функция. где $\Gamma$ - гамма-функция.
  
-$$I_n = \frac{(2l-1)!!}{\pi \sqrt{\alpha^{2l+1}}} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2l-1)}{\sqrt{\alpha^{2l+1}}} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots l}{2 \alpha^{l+1}}, \quad n = 2l + 1$$+$$I_n = \frac{(2l-1)!!}{2^{l+1}} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{2l+1}}} =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2l-1)}{2^{l+1}}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{2l+1}}}, \quad n = 2l 
 +$$ 
 + 
 +$$I_n= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots l}{2 \alpha^{l+1}}, \quad n = 2l + 1$$
  
 $$I_n^\infty = \int_{-\infty}^{\infty} \xi^n \exp(-\alpha \xi^2) d\xi = \begin{cases} $$I_n^\infty = \int_{-\infty}^{\infty} \xi^n \exp(-\alpha \xi^2) d\xi = \begin{cases}
Строка 43: Строка 53:
 $$\varepsilon_{\text{вер}} = \frac{kT}{2}, \quad \langle \varepsilon \rangle = \frac{3kT}{2} $$\varepsilon_{\text{вер}} = \frac{kT}{2}, \quad \langle \varepsilon \rangle = \frac{3kT}{2}
 $$ $$
-Распределение Больцмана. Другим следствием распределения Гиббса является распределение по пространственным координатам:+====Распределение Больцмана. ==== 
 +Другим следствием распределения Гиббса является распределение по пространственным координатам:
  
-$$d\omega = b e^{-q/kT} dq,$$+$$d\omega_q = b e^{-U(q)/kT} dq,$$
  
 где $b$ --- нормировочная константа, $U(q)$ --- полная потенциальная энергия системы, определяемая законом взаимодействия частиц и внешним полем. Мы снова предполагаем, что потенциальная энергия не зависит от скорости частиц. где $b$ --- нормировочная константа, $U(q)$ --- полная потенциальная энергия системы, определяемая законом взаимодействия частиц и внешним полем. Мы снова предполагаем, что потенциальная энергия не зависит от скорости частиц.
Строка 66: Строка 77:
  
 10.5. Определить, при какой ширине потенциального ящика $a$ дискретность энергии становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре $T$. 10.5. Определить, при какой ширине потенциального ящика $a$ дискретность энергии становится сравнимой с энергией теплового движения при температуре $T$.
 +
 +[[решение|решение]]