Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- mmf2-6-1 [2026/03/25 07:09] – создано root
+++ mmf2-6-1 [2026/03/25 07:17] (текущий) – [1. Модель атома Бора] root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-Решение с оценками порядка величины.
+====== Решение задач по атомной и ядерной физике (с выводами) ======
----
+===== 1. Модель атома Бора =====
-## 1. По модели Бора
+Модель Бора основана на двух предположениях:
-Используем стандартные константы:
+  * электрон движется по круговой орбите под действием кулоновской силы;
+  * момент импульса квантуется: $m_e v r = n\hbar$.
-[
+---
-a_0=\frac{\hbar^2}{m_e e^2}=5.29\cdot 10^{-11},\text{м}
-]
-— боровский радиус.
+==== а) Характерные размеры атома и электрона ====
-### а) Характерные размеры атома и электрона
+Кулоновская сила обеспечивает центростремительное ускорение:
+$$
+\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}
+$$
-**Размер атома** порядка боровского радиуса:
+Отсюда:
+$$
+m_e v^2 = \frac{e^2}{r}
+$$
-[
+Из условия квантования:
-r_{\text{ат}} \sim a_0 \approx 5.3\cdot 10^{-11},\text{м}
+$$
-]
+m_e v r = n\hbar \Rightarrow v = \frac{n\hbar}{m_e r}
+$$
-**Размер электрона** обычно оценивают классическим радиусом электрона:
+Подставляем в первое уравнение:
+$$
+m_e \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{e^2}{r}
+$$
-[
+$$
-r_e=\frac{e^2}{m_e c^2}\approx 2.8\cdot 10^{-15},\text{м}
+\frac{n^2 \hbar^2}{m_e r^2} = \frac{e^2}{r}
-]
+$$
-Итак:
+Отсюда радиус орбиты:
+$$
+r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2}
+$$
-[
+Для основного состояния ($n=1$):
-\boxed{r_{\text{ат}} \sim 10^{-10},\text{м}},\qquad
+$$
-\boxed{r_e \sim 10^{-15},\text{м}}
+a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e e^2} \approx 5.29 \cdot 10^{-11},\text{м}
-]
+$$
----
+**Размер атома:** $r \sim a_0$
-### б) Плотность вещества в ядре атома
+Классический радиус электрона определяется из равенства энергии поля и покоя:
+$$
+\frac{e^2}{r_e} \sim m_e c^2 \Rightarrow r_e = \frac{e^2}{m_e c^2}
+$$
-Радиус ядра:
+$$
+r_e \approx 2.8 \cdot 10^{-15},\text{м}
+$$
-[
+---
-R=r_0 A^{1/3}, \qquad r_0\approx 1.2\cdot 10^{-15},\text{м}
-]
-Тогда плотность ядра почти не зависит от (A):
+==== б) Плотность вещества в ядре ====
-[
+Экспериментально:
-\rho \sim \frac{A m_N}{\frac43\pi R^3}
+$$
-=\frac{m_N}{\frac43\pi r_0^3}
+R = r_0 A^{1/3}, \quad r_0 \approx 1.2 \cdot 10^{-15},\text{м}
-]
+$$
-Подставим:
+Объём ядра:
+$$
+V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_0^3 A
+$$
-[
+Масса:
-m_N\approx 1.67\cdot 10^{-27},\text{кг}
+$$
-]
+M \approx A m_N
+$$
-[
+Плотность:
-\rho \approx \frac{1.67\cdot 10^{-27}}
+$$
-{\frac43\pi (1.2\cdot 10^{-15})^3}
+\rho = \frac{M}{V} = \frac{A m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 A}
-\approx 2.3\cdot 10^{17},\text{кг/м}^3
+$$
-]
-или
+Сокращаем $A$:
+$$
+\rho = \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}
+$$
-[
+$$
-\boxed{\rho \sim 2\cdot 10^{14},\text{г/см}^3}
+\rho \approx 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3
-]
+$$
 ---
-### в) Характерные уровни энергии в водородоподобном атоме
+==== в) Уровни энергии водородоподобного атома ====
-Для ядра с зарядом (Ze):
+Полная энергия:
+$$
+E = \frac{m_e v^2}{2} - \frac{e^2}{r}
+$$
-[
+Из ранее полученного:
-E_n=-\frac{m_e e^4 Z^2}{2\hbar^2 n^2}
+$$
-=-\frac{13.6,Z^2}{n^2},\text{эВ}
+m_e v^2 = \frac{e^2}{r}
-]
+$$
-То есть
+Тогда:
+$$
+E = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{2r}
+$$
-[
+Подставляем радиус:
-\boxed{E_n=-\frac{13.6,Z^2}{n^2}\ \text{эВ}}
+$$
-]
+r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2}
+$$
-Для водорода ((Z=1)):
+$$
+E_n = -\frac{e^2}{2} \cdot \frac{m_e e^2}{n^2 \hbar^2}
+$$
-[
+$$
-E_1=-13.6,\text{эВ},\quad
+E_n = -\frac{m_e e^4}{2\hbar^2 n^2}
-E_2=-3.4,\text{эВ},\quad
+$$
-E_3=-1.51,\text{эВ},\ldots
-]
----
+С учётом заряда ядра $Z$:
+$$
+E_n = -\frac{m_e e^4 Z^2}{2\hbar^2 n^2}
+$$
-### г) Потенциал ионизации атома водорода
+Численно:
+$$
+E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}
+$$
-Потенциал ионизации равен энергии, нужной для перевода электрона с уровня (n=1) на (E=0):
+---
-[
+==== г) Потенциал ионизации водорода ====
-I = 13.6,\text{эВ}
-]
-В вольтах это то же число:
+Ионизация — переход с $E_1$ на $E=0$:
+$$
+I = |E_1| = 13.6,\text{эВ}
+$$
-[
+Так как $1,\text{эВ} = e \cdot 1,\text{В}$:
-\boxed{U_i=13.6,\text{В}}
+$$
-]
+U_i = 13.6,\text{В}
+$$
 ---
-### д) Время жизни классического атома водорода
+==== д) Время жизни классического атома ====
-В классической модели электрон на круговой орбите излучает и падает на ядро.
+Электрон излучает по формуле Лармора:
+$$
+P = \frac{2e^2 a^2}{3c^3}
+$$
-Оценка через формулу Лармора дает:
+Ускорение:
+$$
+a = \frac{v^2}{r}
+$$
-[
+Энергия орбиты:
-t \sim \frac{m_e^2 c^3 a_0^3}{4e^4}
+$$
-\approx 1.6\cdot 10^{-11},\text{с}
+E \sim -\frac{e^2}{2r}
-]
+$$
-То есть
+Оценка времени:
+$$
+t \sim \frac{E}{P} \sim 10^{-11},\text{с}
+$$
-[
+Это показывает нестабильность классического атома.
-\boxed{t_{\text{класс}} \sim 10^{-11},\text{с}}
-]
-Это и показывает несостоятельность классической модели атома.
 ---
-## 2. Энергия, необходимая для удаления обоих электронов из атома He
+===== 2. Ионизация атома He =====
-Для нейтрального He первая энергия ионизации дана:
+Первая энергия дана:
+$$
+I_1 = 24.6,\text{эВ}
+$$
-[
+После удаления одного электрона:
-I_1=24.6,\text{эВ}
+получаем $\text{He}^+$ — водородоподобный атом с $Z=2$.
-]
-После удаления одного электрона получаем ион (\text{He}^+), это водородоподобный атом с (Z=2). Его основное состояние:
+Энергия:
+$$
+E_1 = -13.6 Z^2 = -54.4,\text{эВ}
+$$
-[
+Значит:
-E_1=-13.6 Z^2=-13.6\cdot 4=-54.4,\text{эВ}
+$$
-]
+I_2 = 54.4,\text{эВ}
+$$
-Значит, вторая энергия ионизации:
+Полная энергия:
+$$
-[
+I = I_1 + I_2 = 79,\text{эВ}
-I_2=54.4,\text{эВ}
+$$
-]
-Тогда полная энергия удаления обоих электронов:
-[
-I=I_1+I_2=24.6+54.4=79.0,\text{эВ}
-]
-[
-\boxed{79,\text{эВ}}
-]
 ---
-## 3. Вероятность распада в течение пятого дня
+===== 3. Вероятность распада =====
-Среднее время жизни:
-[
-\tau=10,\text{дней}
-]
 Закон распада:
+$$
+N(t) = N_0 e^{-t/\tau}
+$$
-[
+Вероятность того, что атом НЕ распался:
-P(t)=e^{-t/\tau}
+$$
-]
+P(t) = e^{-t/\tau}
+$$
-Вероятность распада **в течение пятого дня**, то есть в интервале от (t=4) до (t=5) дней:
-[
-W=P(4)-P(5)=e^{-4/10}-e^{-5/10}
-]
-[
-W=e^{-0.4}-e^{-0.5}\approx 0.6703-0.6065\approx 0.0638
-]
-[
+Вероятность распада в интервале $[t_1, t_2]$:
-\boxed{W\approx 0.064}
+$$
-]
+W = P(t_1) - P(t_2)
+$$
-или
+Для пятого дня:
+$$
+W = e^{-4/10} - e^{-5/10}
+$$
-[
+$$
-\boxed{6.4%}
+W \approx 0.064
-]
+$$
 ---
-## 4. Высота кулоновского барьера для (\alpha)-частицы у поверхности ядра (^{238}\mathrm{U})
+===== 4. Кулоновский барьер =====
-При (\alpha)-распаде:
+Потенциальная энергия взаимодействия:
+$$
+U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1 Z_2 e^2}{R}
+$$
-* заряд (\alpha)-частицы: (2e)
+Для $\alpha$-частицы:
-* заряд дочернего ядра: ((92-2)e=90e)
+$$
+Z_1 = 2,\quad Z_2 = 90
+$$
-Радиус ядра:
+Используем:
+$$
+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = 1.44,\text{МэВ}\cdot\text{фм}
+$$
-[
+Радиус:
-R=r_0 A^{1/3}\approx 1.2\cdot 238^{1/3},\text{фм}
+$$
-]
+R = r_0 A^{1/3} \approx 7.4,\text{фм}
+$$
-Так как
+Тогда:
+$$
+U \approx \frac{1.44 \cdot 180}{7.4} \approx 35,\text{МэВ}
+$$
-[
+---
-^{1/3}\approx 6.2,
-]
-то
+====== Итоговые ответы ======
-[
+  * $r_{\text{ат}} \sim 10^{-10},\text{м}$
-R\approx 1.2\cdot 6.2\approx 7.4,\text{фм}
+  * $r_e \sim 10^{-15},\text{м}$
-]
+  * $\rho \sim 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3$
+  * $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}$
-Высота кулоновского барьера:
+  * $U_i = 13.6,\text{В}$
+  * $t \sim 10^{-11},\text{с}$
-[
+  * $I_{\text{He}} = 79,\text{эВ}$
-U_C \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\cdot 90,e^2}{R}
+  * $W \approx 6.4%$
-]
+  * $U_C \approx 35,\text{МэВ}$
-Удобно использовать
-[
-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}=1.44,\text{МэВ}\cdot\text{фм}
-]
-Тогда
-[
-U_C\approx \frac{1.44\cdot 180}{7.4},\text{МэВ}
-\approx 35,\text{МэВ}
-]
-[
-\boxed{U_C\approx 35,\text{МэВ}}
-]
 ---
-## Ответы
-.
-[
-\boxed{r_{\text{ат}} \sim 5.3\cdot 10^{-11},\text{м}},\qquad
-\boxed{r_e \sim 2.8\cdot 10^{-15},\text{м}}
-]
-[
-\boxed{\rho_{\text{ядра}} \sim 2\cdot 10^{17},\text{кг/м}^3}
-]
-[
-\boxed{E_n=-\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}}
-]
-[
-\boxed{U_i(\text{H})=13.6,\text{В}}
-]
-[
-\boxed{t_{\text{класс}}\sim 10^{-11},\text{с}}
-]
-.
-[
-\boxed{79,\text{эВ}}
-]
-.
-[
-\boxed{W\approx 0.064 \approx 6.4%}
-]
-.
-[
-\boxed{U_C\approx 35,\text{МэВ}}
-]
-Могу также оформить это в виде аккуратного решения “как в тетради”, без пояснений, только с формулами и подстановками.