Это старая версия документа!
Решение с оценками порядка величины.
—
## 1. По модели Бора
Используем стандартные константы:
[ a_0=\frac{\hbar^2}{m_e e^2}=5.29\cdot 10^{-11},\text{м} ]
— боровский радиус.
### а) Характерные размеры атома и электрона
Размер атома порядка боровского радиуса:
[ r_{\text{ат}} \sim a_0 \approx 5.3\cdot 10^{-11},\text{м} ]
Размер электрона обычно оценивают классическим радиусом электрона:
[ r_e=\frac{e^2}{m_e c^2}\approx 2.8\cdot 10^{-15},\text{м} ]
Итак:
[ \boxed{r_{\text{ат}} \sim 10^{-10},\text{м}},\qquad \boxed{r_e \sim 10^{-15},\text{м}} ]
—
### б) Плотность вещества в ядре атома
Радиус ядра:
[ R=r_0 A^{1/3}, \qquad r_0\approx 1.2\cdot 10^{-15},\text{м} ]
Тогда плотность ядра почти не зависит от (A):
[ \rho \sim \frac{A m_N}{\frac43\pi R^3} =\frac{m_N}{\frac43\pi r_0^3} ]
Подставим:
[ m_N\approx 1.67\cdot 10^{-27},\text{кг} ]
[ \rho \approx \frac{1.67\cdot 10^{-27}} {\frac43\pi (1.2\cdot 10^{-15})^3} \approx 2.3\cdot 10^{17},\text{кг/м}^3 ]
или
[ \boxed{\rho \sim 2\cdot 10^{14},\text{г/см}^3} ]
—
### в) Характерные уровни энергии в водородоподобном атоме
Для ядра с зарядом (Ze):
[ E_n=-\frac{m_e e^4 Z^2}{2\hbar^2 n^2} =-\frac{13.6,Z^2}{n^2},\text{эВ} ]
То есть
[ \boxed{E_n=-\frac{13.6,Z^2}{n^2}\ \text{эВ}} ]
Для водорода 1):
[ E_1=-13.6,\text{эВ},\quad E_2=-3.4,\text{эВ},\quad E_3=-1.51,\text{эВ},\ldots ]
—
### г) Потенциал ионизации атома водорода
Потенциал ионизации равен энергии, нужной для перевода электрона с уровня (n=1) на (E=0):
[ I = 13.6,\text{эВ} ]
В вольтах это то же число:
[ \boxed{U_i=13.6,\text{В}} ]
—
### д) Время жизни классического атома водорода
В классической модели электрон на круговой орбите излучает и падает на ядро.
Оценка через формулу Лармора дает:
[ t \sim \frac{m_e^2 c^3 a_0^3}{4e^4} \approx 1.6\cdot 10^{-11},\text{с} ]
То есть
[ \boxed{t_{\text{класс}} \sim 10^{-11},\text{с}} ]
Это и показывает несостоятельность классической модели атома.
—
## 2. Энергия, необходимая для удаления обоих электронов из атома He
Для нейтрального He первая энергия ионизации дана:
[ I_1=24.6,\text{эВ} ]
После удаления одного электрона получаем ион (\text{He}^+), это водородоподобный атом с (Z=2). Его основное состояние:
[ E_1=-13.6 Z^2=-13.6\cdot 4=-54.4,\text{эВ} ]
Значит, вторая энергия ионизации:
[ I_2=54.4,\text{эВ} ]
Тогда полная энергия удаления обоих электронов:
[ I=I_1+I_2=24.6+54.4=79.0,\text{эВ} ]
[ \boxed{79,\text{эВ}} ]
—
## 3. Вероятность распада в течение пятого дня
Среднее время жизни:
[ \tau=10,\text{дней} ]
Закон распада:
[ P(t)=e^{-t/\tau} ]
Вероятность распада в течение пятого дня, то есть в интервале от (t=4) до (t=5) дней:
[ W=P(4)-P(5)=e^{-4/10}-e^{-5/10} ]
[ W=e^{-0.4}-e^{-0.5}\approx 0.6703-0.6065\approx 0.0638 ]
[ \boxed{W\approx 0.064} ]
или
[ \boxed{6.4%} ]
—
## 4. Высота кулоновского барьера для (\alpha)-частицы у поверхности ядра (^{238}\mathrm{U})
При (\alpha)-распаде:
* заряд (\alpha)-частицы: (2e) * заряд дочернего ядра: ((92-2)e=90e)
Радиус ядра:
[ R=r_0 A^{1/3}\approx 1.2\cdot 238^{1/3},\text{фм} ]
Так как
[ 238^{1/3}\approx 6.2, ]
то
[ R\approx 1.2\cdot 6.2\approx 7.4,\text{фм} ]
Высота кулоновского барьера:
[ U_C \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\cdot 90,e^2}{R} ]
Удобно использовать
[ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}=1.44,\text{МэВ}\cdot\text{фм} ]
Тогда
[ U_C\approx \frac{1.44\cdot 180}{7.4},\text{МэВ} \approx 35,\text{МэВ} ]
[ \boxed{U_C\approx 35,\text{МэВ}} ]
—
## Ответы
1.
[ \boxed{r_{\text{ат}} \sim 5.3\cdot 10^{-11},\text{м}},\qquad \boxed{r_e \sim 2.8\cdot 10^{-15},\text{м}} ]
[ \boxed{\rho_{\text{ядра}} \sim 2\cdot 10^{17},\text{кг/м}^3} ]
[ \boxed{E_n=-\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}} ]
[ \boxed{U_i(\text{H})=13.6,\text{В}} ]
[ \boxed{t_{\text{класс}}\sim 10^{-11},\text{с}} ]
2.
[ \boxed{79,\text{эВ}} ]
3.
[ \boxed{W\approx 0.064 \approx 6.4%} ]
4.
[ \boxed{U_C\approx 35,\text{МэВ}} ]
Могу также оформить это в виде аккуратного решения “как в тетради”, без пояснений, только с формулами и подстановками.