Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой $m$ в одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками $(0<x<a),$ если частица находится в состояниях, описываемых волновыми функциями:

а) $\Psi (x) = A\sin ^2 \left(\pi \frac xa \right)$;

б) $\Psi (x) = A x\left(x-a \right)$.

$$\left\langle T\right\rangle =\left\langle \Psi|\hat{T}|\Psi\right\rangle =\left\langle \Psi|\frac{\hat{p}^{2}}{2m}|\Psi\right\rangle =\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\hat{p}^{2}}{2m}\Psi dx=$$ $$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\Psi dx= -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{2m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}x\left(x-a\right)dx=$$

$$ -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\intop_{0}^{a}x\left(x-a\right)dx= -\frac{A^{2}\hbar^{2}}{m}\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{2}}{2}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}\hbar^{2}a^{3}}{6m}.$$ $$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=$$

$$A^{2}\intop_{0}^{a}x^{2}\left(x-a\right)^{2}dx=A^{2}\intop_{0}^{a}\left(x^{4}-2ax^{3}+a^{2}x^{2}\right)dx=$$

$$A^{2}\left.\left(\frac{x^{5}}{5}-\frac{ax^{4}}{2}+\frac{a^{2}x^{3}}{3}\right)\right|_{0}^{a}=\frac{A^{2}a^{5}}{30}.$$

Следовательно, $$A=\sqrt{\frac{30}{a^{5}}} \text{ и } \left\langle T\right\rangle =\frac{5\hbar^{2}}{a^{2}m}.$$

В одномерном потенциальном поле $U(x),$ таком, что $U(x)=0$ при $x\to\infty,$ находится частица в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией $$ \Psi(x) = \left\{ \begin{array}{cc} Axe^{-ax}, & x\geq0\\ 0, & x<0 \end{array}\right..$$

Найти вид функции $U(x)$ и константу $A.$

Определим вид функции $U(x),$ подставив волновую функцию в уравнение Шрёдингера:

$$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi.$$

Продифференцируем:

$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}xe^{-ax}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-ax}-axe^{-ax}\right)=-2ae^{-ax}+a^{2}xe^{-ax},$$ тогда $$\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(2-ax\right)+U(x)x=Ex$$ так, что $$U(x)=\left.E+\frac{\hbar^{2}a}{2m}\left(a-\frac{2}{x}\right)\right|_{x\to\infty}=0,$$ следовательно, $$E=-\frac{\hbar^{2}a^{2}}{2m}, \ \ U(x)=-\frac{\hbar^{2}a}{mx}.$$

Константу $A$ определим из нормировки:

$$1=\intop_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\Psi dx=A^{2}\intop_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2ax}dx=$$ $$ \frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}dt=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=$$ $$ \left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\intop_{0}^{\infty}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}e^{-t\alpha}dt\right|_{\alpha=1}=\left.\frac{A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial\alpha^{2}}\frac{1}{\alpha}\right|_{\alpha=1}=\frac{2A^{2}}{\left(2a\right)^{3}}.$$ следовательно, $$A=2\sqrt{a^{3}}.$$

Плотность вероятности обнаружить частицу в заданной точке определяется выражением: $$\rho=|\Psi|^{2}=\Psi\Psi^{*},$$ тогда плотность вероятности должна удовлетворять уравнению непрерывности: $$\frac{{\partial}\rho}{\partial t}+\text{div }\vec{j}=0.$$ Введём поток вероятности (или ток вероятности) $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right).$$

Для плоской волны (т.е. для частицы, движущейся с определённым импульсом): $$\Psi=Ae^{ikx}, \ \ \ \rho=|\Psi|^{2}=|A|^{2}=1,$$ \ $$\vec{j}=\frac{\hbar}{i2m}\left(\Psi^{*}\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^{*}\right)=\frac{\hbar\vec{k}}{m}.$$

Найти коэффициент отражения частицы с энергией $E$ на барьере высотой $U_{0}<E.$

Запишем уравнение Шрёдингера: $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi,$$\ потенциал имеет вид: $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} U_{0}, & x\geq0\\ 0, & x<0 \end{array}\right..$$ Волновая функция имеет вид: $$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc} Be^{ik_{2}x}, & x\geq0\\ e^{ikx}+Ae^{-ikx}, & x<0 \end{array}\right.,$$ где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(E-U_{0}\right)}{\hbar^{2}}}.$

Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на границах барьера, т.е. при $x=0:$ $$\left\{ \begin{array}{cc} 1+A=B,\\ k\left(1-A\right)=k_{2}B, \end{array}\right.$$\ Решая систему двух линейных алгебраических уравнений: $$A=\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k},\,B=\frac{2k}{k_{2}+k},$$ (как формулы Френеля для нормального падения в оптике).

Коэффициент (надбарьерного) отражения равен отношению тока вероятности отражённой волны к току вероятности падающей:

$$R=|A|^{2}=\left(\frac{k_{2}-k}{k_{2}+k}\right)^{2}=\left(\frac{1-\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}{1+\sqrt{1-\frac{U_{0}}{E}}}\right)^{2}.$$

Найти коэффициент туннелирования частицы с энергией $E$ сквозь барьер высотой $U_{0}>E$ и шириной $a.$ Запишем уравнение Шрёдингера: $$\left(-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m}+U(x)\right)\Psi=E\Psi$$ потенциал имеет вид: $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} U_{0}, & 0\leq x\leq a\\ 0, & x<0\text{ и }x>a \end{array}\right..$$ Таким образом, волновая функция имеет вид: $$\Psi(x)=\left\{ \begin{array}{cc} e^{ikx}+Ae^{-ikx} & x<0\\ Be^{k_{2}x}+Ce^{-k_{2}x} & 0\leq x\leq a\\ De^{ikx} & x>a \end{array}\right.$$ где $k=\sqrt{\frac{2E}{\hbar^{2}}},$ $k_{2}=\sqrt{\frac{2\left(U_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}}.$

Выпишем условия непрерывности волновой функции и её производной на границах барьера, т.е. при $x=0$ и $x=a:$

$1+A=B+C;$

$ik\left(1-A\right)=k_{2}\left(B-C\right);$

$Be^{k_{2}a}+Ce^{-k_{2}a}=De^{ika};$

$k_{2}\left(Be^{k_{2}a}-Ce^{-k_{2}a}\right)=ikDe^{ika}.$

Решая систему, получим:

$$A=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)\left(e^{2k_{2}a}-1\right)+i2kk_{2}\left(e^{2k_{2}a}+1\right)}$$ так как $R=|A|^{2},$ то $$R=\frac{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)}{\left(k^{2}+k_{2}^{2}\right)^{2}\text{sh}^{2}\left(k_{2}a\right)+4k^{2}k_{2}^{2}\text{ch}^{2}\left(k_{2}a\right)}.$$

Коэффициент прохождения равен: $T=1-R.$

Ответ напоминает соотношение, полученное при изучении прохождения волны через зазор при полном внутреннем отражении.

Туннельный эффект используется в:

1) Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде, где наблюдается отрицательное дифференциальное сопротивление.

2) Туннельный микроскоп. Основан на, том, что если между поверхностью проводящего материала и атомно-острой проводящей иглой (зондом) подать напряжение и подвести на очень малое расстояние, то между ними будет течь туннельный ток. Если поддерживать ток постоянным при сканировании зондом вдоль поверхности, можно получить картину поверхности с атомным разрешением.

3) $\alpha$–распад — туннелирование через потенциальный барьер. Теорию альфа–распада, основанную на туннельном эффекте, разработал в 1928 Георгий Гамов.

4) авто– и термоэмиссия

5) Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную плёнку, имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности, алюминия) и обеспечивающее проводимость точек механического соединения проводников. и т.д.

Пользуясь формулой для нахождения коэффициента туннелирования $T=exp\left(-\frac{2}{\hbar}\intop_{a}^{b}\sqrt{2m\left(U(x)-E\right)}dx\right),$ где $a,b$ классические точки поворота для потенциального барьера, найти вероятность прохождения электрона с энергией $E$ сквозь потенциальный треугольной формы высотой $U_{0}$ и шириной $d$. Потенциальная энергия имеет вид: $$U(x)=\left\{ \begin{array}{cc} U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right), & 0\leq x\leq d\\ 0, & x<0\text{ и }x>d \end{array}\right..$$

Определим точки поворота: $a=0,$ а вторая точка поворота определяется из равенства: $$U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)=E,$$ следовательно, $$b=\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d.$$ Итак: $$T=exp\left(-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\intop_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\sqrt{U_{0}\left(1-\frac{x}{d}\right)-E}dx\right)=$$ $$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left.\left(U_{0}-U_{0}\frac{x}{d}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)d}\right)=$$

$$exp\left(\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(\left(U_{0}-U_{0}\left(1-\frac{E}{U_{0}}\right)-E\right)^{\frac{3}{2}}-\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right) \Rightarrow$$ $$T= exp\left(-\frac{4\sqrt{2m}d}{3\hbar U_{0}}\left(U_{0}-E\right)^{\frac{3}{2}}\right).$$