Условие: К цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, подключили источник переменной ЭДС, как показано на рисунке. Найти ток, текущий в цепи.

Условие: Подберите величину индуктивности катушки так, чтобы амплитуда напряжения на выходе изображенного на рисунке фильтра при частоте 100 Гц была в 10 раз меньше амплитуды на входе. Схема содержит катушку индуктивности \(L\) и два конденсатора ёмкостью 10 мкФ каждый.

Решение:

Предполагаем, что фильтр представляет собой П-образное звено: входной конденсатор \(C_1 = 10\) мкФ включён параллельно входу, затем последовательно катушка \(L\), и выходной конденсатор \(C_2 = 10\) мкФ включён параллельно выходу (нагрузка отсутствует, режим холостого хода). Выходное напряжение снимается с \(C_2\).

Для такой цепи в комплексной форме передаточная функция по напряжению при холостом ходе имеет вид: \[ \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}} = \frac{1}{1 - \omega^2 L C_2}, \] где \(\omega = 2\pi f\) — круговая частота. Модуль коэффициента передачи: \[ K = \left| \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}} \right| = \frac{1}{|1 - \omega^2 L C_2|}. \] По условию \(K = 0.1\) (в 10 раз меньше), следовательно, \[ |1 - \omega^2 L C_2| = 10. \] Так как \(\omega^2 L C_2 > 0\), выражение \(1 - \omega^2 L C_2\) может быть отрицательным. Чтобы модуль равнялся 10, необходимо \[ 1 - \omega^2 L C_2 = -10 \quad \Rightarrow \quad \omega^2 L C_2 = 11. \] Отсюда \[ L = \frac{11}{\omega^2 C_2}. \] Подставляем значения: \[ f = 100\ \text{Гц}, \quad \omega = 2\pi f = 200\pi\ \text{рад/с}, \quad C_2 = 10\ \text{мкФ} = 10^{-5}\ \text{Ф}. \] \[ \omega^2 = (200\pi)^2 = 40000\pi^2 \approx 394784\ \text{рад}^2/\text{с}^2, \] \[ L = \frac{11}{394784 \cdot 10^{-5}} = \frac{11}{3.94784} \approx 2.786\ \text{Гн}. \] Точное выражение: \[ L = \frac{11}{4\pi^2 \cdot 100^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{11}{4\pi^2 \cdot 10^{-1}} = \frac{110}{4\pi^2} = \frac{55}{2\pi^2}\ \text{Гн}. \]

Ответ: Индуктивность катушки должна быть равна \(\displaystyle L = \frac{55}{2\pi^2}\) Гн \(\approx 2.79\) Гн.

Рассмотрение последовательного колебательного контура. Знакомство с лоренцевским контуром.

### Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности \(L\), конденсатора \(C\) и резистора \(R\) (активного сопротивления потерь), соединённых последовательно с источником переменной ЭДС (рис. 1). Уравнение цепи во временной области:

\[ L \frac{di}{dt} + iR + \frac{1}{C} \int i \, dt = e(t). \]

В комплексной форме для гармонического сигнала \(e(t) = E_m e^{j\omega t}\):

\[ \dot{I} = \frac{\dot{E}}{Z}, \quad Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right). \]

Модуль тока:

\[ I(\omega) = \frac{E_m}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}. \]

Резонанс наступает при \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), когда реактивное сопротивление равно нулю. При резонансе ток максимален: \(I_{\text{max}} = E_m / R\).

### Лоренцевский контур

Лоренцевским называют колебательный контур, у которого частотная зависимость амплитуды тока (или напряжения на элементе) вблизи резонанса описывается лоренцевой кривой (формулой Лоренца). Такая форма возникает, например, для квадрата амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) тока:

\[ I^2(\omega) = \frac{I_{\text{max}}^2}{1 + \left(2Q \frac{\omega - \omega_0}{\omega_0}\right)^2}, \]

где \(Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R}\) — добротность контура. Эта зависимость является лоренцевой (или лоренцианом) и симметрична относительно \(\omega_0\). Ширина полосы пропускания на уровне \(1/\sqrt{2}\) от максимума равна \(\Delta \omega = \omega_0 / Q\).

Лоренцева форма характерна для многих резонансных систем и описывает распределение энергии вблизи резонансной частоты. В случае последовательного контура именно ток (или напряжение на резисторе) имеет такую форму. Напряжения на реактивных элементах имеют более сложный вид, но вблизи резонанса также приближённо лоренцевы.

### Основные свойства последовательного контура

- Резонансная частота \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\). - Характеристическое сопротивление \(\rho = \sqrt{L/C}\). - Добротность \(Q = \rho / R = \omega_0 L / R\). - Полоса пропускания по уровню 0,707 от максимума: \(\Delta f = f_0 / Q\).

Лоренцевский контур широко используется в радиотехнике для выделения сигналов, в спектроскопии, а также как модель для описания резонансных явлений в физике.

Таким образом, знакомство с лоренцевским контуром подразумевает понимание резонансных кривых, добротности и связи с лоренцевой формой линии.

Условие: К последовательному колебательному контуру подключили нагрузку как показано на рисунке. Найти резонансную частоту в этом случае, оценить ее абсолютный и относительный сдвиг. На схеме обозначены: \(r\) (сопротивление потерь катушки или внутреннее сопротивление источника), \(L\) (индуктивность), \(E\) (источник ЭДС), \(C\) (ёмкость), \(R_1\) (нагрузка). Предполагается, что нагрузка \(R_1\) подключена параллельно конденсатору \(C\) (типичное включение).

Решение:

Рассмотрим последовательный контур, состоящий из сопротивления \(r\), индуктивности \(L\) и параллельно соединённых конденсатора \(C\) и нагрузки \(R_1\). Источник ЭДС \(E\) создаёт переменное напряжение частоты \(\omega\). Требуется найти частоту, при которой ток в цепи максимален (резонанс напряжений), что соответствует равенству нулю мнимой части входного сопротивления цепи.

Входное комплексное сопротивление: \[ Z = r + j\omega L + \left( \frac{1}{j\omega C} \parallel R_1 \right). \] Параллельное соединение \(C\) и \(R_1\) даёт: \[ Z_{RC} = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{j\omega C}}{R_1 + \frac{1}{j\omega C}} = \frac{R_1}{1 + j\omega R_1 C} = \frac{R_1(1 - j\omega R_1 C)}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}. \] Тогда полное сопротивление: \[ Z = r + j\omega L + \frac{R_1}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2} - j\frac{\omega R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}. \] Мнимая часть: \[ \operatorname{Im}(Z) = \omega L - \frac{\omega R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}. \] Условие резонанса: \(\operatorname{Im}(Z) = 0\), откуда \[ \omega L = \frac{\omega R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{R_1^2 C}{1 + \omega^2 R_1^2 C^2}. \] Решаем относительно \(\omega^2\): \[ 1 + \omega^2 R_1^2 C^2 = \frac{R_1^2 C}{L} \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{ \frac{R_1^2 C}{L} - 1 }{R_1^2 C^2} = \frac{1}{LC} - \frac{1}{R_1^2 C^2}. \] Обозначим резонансную частоту исходного контура (без нагрузки) \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\). Тогда \[ \omega = \sqrt{ \omega_0^2 - \frac{1}{R_1^2 C^2} }. \] Резонанс существует только при \(\omega_0^2 > \frac{1}{R_1^2 C^2}\), то есть \(R_1 > \sqrt{\frac{L}{C}}\) (характеристическое сопротивление контура).

Оценка сдвига частоты

Если нагрузка велика (\(R_1 \gg \sqrt{L/C}\)), то \(\frac{1}{R_1^2 C^2} \ll \omega_0^2\). Разложим корень: \[ \omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{\omega_0^2 R_1^2 C^2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{L}{R_1^2 C}} \approx \omega_0 \left(1 - \frac{L}{2R_1^2 C}\right). \] Абсолютный сдвиг: \[ \Delta \omega = \omega - \omega_0 \approx -\frac{\omega_0 L}{2R_1^2 C}. \] Относительный сдвиг: \[ \frac{\Delta \omega}{\omega_0} \approx -\frac{L}{2R_1^2 C}. \] Знак минус означает, что резонансная частота уменьшается.

Ответ: Резонансная частота после подключения нагрузки: \[ \boxed{\omega = \sqrt{ \frac{1}{LC} - \frac{1}{R_1^2 C^2} } }. \] Приближённые значения сдвига (для \(R_1 \gg \sqrt{L/C}\)): \[ \Delta \omega \approx -\frac{1}{2R_1^2 C} \sqrt{\frac{L}{C}}, \quad \frac{\Delta \omega}{\omega_0} \approx -\frac{L}{2R_1^2 C}. \]

Вопрос: Какое напряжение в розетке?

Ответ:

В бытовой электрической сети России и многих стран СНГ стандартное напряжение в розетке составляет 220 вольт переменного тока частотой 50 герц. Это действующее (среднеквадратичное) значение. Амплитудное напряжение при этом равно \(220 \times \sqrt{2} \approx 311\) В.

В других странах могут быть иные стандарты, например, в США и Японии — 100–127 В при частоте 60 Гц, в некоторых европейских странах — 230 В. Однако для типичной задачи подразумевается именно российский стандарт.