Семинары по электромагнетизму 3 семестр. Семинар 6. Магнитные свойства вещества

В пространстве, заполненном магнетиком с проницаемостью $\mu_1$, расположен вдоль оси $Z$ бесконечный прямолинейный проводник с током $J$. Проводящая сфера радиусом $a$ с центром в начале координат заменяет соответствующую часть линейного проводника. Внутри сферы — магнетик с проницаемостью $\mu_2$. Найти векторы $\vec B$ и $\vec H$ во всём пространстве.

В силу осевой симметрии силовые линии магнитного поля имеют только $\alpha$-составляющую, т.е. $H_z=H_r=0$. Записывая теорему о циркуляции (Стокса) по силовой линии вне сферы и проводника: $$\oint H\,dl=2\pi rH_\alpha=\mu_0J.$$ Откуда $$H_\alpha=\frac{\mu_0J}{2\pi r},\qquad B_\alpha=\mu_1H_\alpha=\frac{\mu_0\mu_1J}{2\pi r}.$$ Внутри проводящей сферы (она экранирует поле): $\vec H=\vec B=0$.

Вне сферы $B_\alpha=\dfrac{\mu_0\mu_1J}{2\pi r}$, $H_\alpha=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r}$; внутри сферы $\vec B=\vec H=0$.

Цилиндрический проводник радиуса $a$ и проницаемостью $\mu\cong1$ проходит перпендикулярно через плоскую границу двух магнетиков с проницаемостями $\mu_1$ и $\mu_2$. По проводнику идёт постоянный ток $J$. Найти распределение полей $\vec B$ и $\vec H$ во всём пространстве.

Как и в предыдущей задаче, в силу симметрии $H_r=H_z=B_r=B_z=0$ во всём пространстве; отлична от нуля только $\alpha$-составляющая $\vec B$ и $\vec H$. Считая ток равномерно распределённым по сечению проводника, внутри проводника ($r\le a$) по теореме о циркуляции: $$\oint H\,dl=2\pi rH_\alpha=\mu_0\frac{J\pi r^2}{\pi a^2}.$$ Откуда $$H_\alpha=B_\alpha=\frac{\mu_0Jr}{2\pi a^2}\quad\text{при }r\le a.$$ Снаружи при $r>a$: $$H_\alpha=\frac{\mu_0J}{2\pi r},\qquad B_\alpha=\frac{\mu_1\mu_0J}{2\pi r}\ (z>0),\qquad B_\alpha=\frac{\mu_2\mu_0J}{2\pi r}\ (z<0).$$

Внутри проводника $B_\alpha=H_\alpha=\dfrac{\mu_0Jr}{2\pi a^2}$; снаружи $H_\alpha=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r}$, а $B_\alpha$ отличается множителем $\mu_1$ или $\mu_2$ в зависимости от полупространства.

Прямой провод с постоянным током $J$ проходит по оси симметрии толстой трубы с радиусами $a$, $b$ ($a<b$). Одна половина трубы имеет магнитную проницаемость $\mu_1$, вторая — $\mu_2$. Найти $\vec B$ во всём пространстве.

Задача решается аналогично предыдущим. $B_r=B_z=0$ во всём пространстве. $$B_\alpha^{(i)}=\mu_i\mu_0\frac{J}{2\pi r}\quad\text{для }i=1,2\text{ при }a\le r\le b;\qquad B=\frac{\mu_0J}{2\pi r}\quad\text{в остальном пространстве.}$$

Внутри стенки трубы поле в каждой половине пропорционально своей проницаемости: $B^{(i)}=\dfrac{\mu_0\mu_iJ}{2\pi r}$; вне трубы и в полости $B=\dfrac{\mu_0J}{2\pi r}$, как от провода в вакууме.

Найти магнитное поле в тонкой плоской щели, если магнитное поле в среде с магнитной проницаемостью $\mu$ можно считать однородным.

Пусть поле в среде направлено под углом $\theta$ к нормали щели; индексом $0$ обозначим поле в щели, индексом $1$ — поле в среде. Из граничных условий (непрерывность нормальной составляющей $B$ и тангенциальной составляющей $H$): $$H_{0n}=B_{1n}=B\cos\theta,\qquad H_{0\tau}=H_{1\tau}=\frac{B_{1\tau}}{\mu}=\frac{B}{\mu}\sin\theta.$$

$H_{0n}=B\cos\theta$, $H_{0\tau}=\dfrac{B}{\mu}\sin\theta$ — поле в щели складывается из этих составляющих (при узкой щели поперёк поля, $\theta\to0$, получаем $H_0\approx B/\mu_0\cdot\mu$ — поле в щели усиливается по сравнению с $H$ в среде).

Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной $l_0=5$ мм. Длина $l$ средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков $N$ содержит обмотка на кольце, если при силе тока $I=4$ А индукция $B$ магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Пренебрегая рассеянием магнитного потока, принимаем, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. По закону полного тока для контура средней линии: $$NI=Hl+H_0l_0.$$ По графику $B(H)$ для чугуна находим, что при $B=0{,}5$ Тл напряжённость $H$ магнитного поля в чугуне равна $1{,}2$ кА/м. Для воздуха $\mu=1$, поэтому напряжённость поля в зазоре $$H_0=\frac{B}{\mu_0}\approx0{,}40\text{ МА/м}.$$ Искомое число витков: $$N=\frac{Hl+H_0l_0}{I}=\frac{1200\cdot1+4{,}0\cdot10^5\cdot0{,}005}{4}\approx800.$$

$N\approx800$ витков.

Прямой бесконечно длинный проводник с током $I$ лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями $\mu_1$ и $\mu_2$. Найти модуль вектора индукции магнитного поля во всём пространстве в зависимости от расстояния $r$ до провода. Линии вектора $\vec B$ являются окружностями с центром на оси проводника.

По теореме о циркуляции вектора $\vec H$ для окружности радиуса $r$ с центром на оси провода (по полуокружности в каждой среде): $$\pi rH_1+\pi rH_2=\mu_0I,\qquad(1)$$ где $H_1$ и $H_2$ — напряжённости поля в первой и второй средах. Граничное условие непрерывности нормальной составляющей $B$ на плоской границе даёт $\mu_1H_1=\mu_2H_2$, откуда $$H_1=\frac{\mu_2H_2}{\mu_1}.\qquad(2)$$ Подставляя (2) в (1), находим $H_2$: $$H_2=\frac{\mu_1\mu_0I}{\pi r(\mu_1+\mu_2)}.$$ С помощью (2) находим $H_1$: $$H_1=\frac{\mu_0\mu_2I}{\pi r(\mu_1+\mu_2)}.$$ Отсюда с учётом граничных условий: $$B=B_1=B_2=\mu_1H_1=\frac{\mu_0\mu_1\mu_2I}{\pi r(\mu_1+\mu_2)}.$$

$B=\dfrac{\mu_0\mu_1\mu_2I}{\pi r(\mu_1+\mu_2)}$ — одинакова по обе стороны от провода.

Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотропного магнетика равна $\vec B$, причём вектор $\vec B$ составляет угол $\alpha$ с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость магнетика равна $\mu$. Найти модуль вектора индукции $B'$ магнитного поля в магнетике вблизи поверхности.

Граничные условия: нормальная составляющая $B$ непрерывна ($B_{2n}=B_{1n}$), тангенциальная составляющая $H$ непрерывна ($H_{2\tau}=H_{1\tau}$). В вакууме $$B_n=B\cos\alpha,\qquad B_\tau=B\sin\alpha,\qquad H_\tau=B_\tau/\mu_0.$$ В магнетике тангенциальная составляющая индукции $$B_\tau'=\mu\mu_0H_\tau=\mu\mu_0\cdot\frac{B\sin\alpha}{\mu_0}=\mu B\sin\alpha,$$ а нормальная составляющая та же: $B_n'=B\cos\alpha$. Тогда $$B'=\sqrt{(B_n')^2+(B_\tau')^2}=B\sqrt{\cos^2\alpha+\mu^2\sin^2\alpha}.$$

$B'=B\sqrt{\cos^2\alpha+\mu^2\sin^2\alpha}$.

На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом $R=250$ мм имеется обмотка с общим числом витков $N=1000$. В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной $b=1{,}00$ мм. При токе $I=0{,}85$ А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре $B=0{,}75$ Тл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

По теореме о циркуляции вектора $\vec H$ (контур — средняя линия тора): $$(2\pi R-b)H+bH_0=NI,$$ где $H$ — напряжённость поля в железе, $H_0$ — в прорези. Отсутствие рассеяния на краях прорези означает $B=B_0$, причём в прорези (воздух) $H_0=B/\mu_0$, а в железе $B=\mu\mu_0H$. Подставляя и разрешая относительно $\mu$: $$\mu=\frac{B(2\pi R-b)}{\mu_0NI-Bb}\approx\frac{2\pi RB}{\mu_0NI}\approx3{,}7\cdot10^3.$$

$\mu\approx3{,}7\cdot10^3$.

Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца $d=20$ см. Ширина зазора $b=2{,}0$ мм, индукция магнитного поля в зазоре $B=40$ мТл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти модуль вектора напряжённости магнитного поля внутри магнита.

В постоянном магните свободных токов нет, поэтому по теореме о циркуляции вектора $\vec H$: $$\oint H\,dl=\mu_0I_{\text{своб}}=0.$$ Для контура вдоль средней линии кольца (длина $\approx\pi d$ в магните и $b$ в зазоре, $b\ll\pi d$): $$H_{\text{вн}}\pi d+\frac{B}{\mu_0}b=0.$$ Отсюда для модуля вектора $H$ внутри магнита: $$|H_{\text{вн}}|=\frac{Bb}{\mu_0\pi d}\approx\frac{0{,}040\cdot0{,}002}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot\pi\cdot0{,}20}\approx3{,}2\cdot10^2\text{ А/м}.$$

$|H_{\text{вн}}|=\dfrac{Bb}{\mu_0\pi d}\approx320$ А/м (направлен противоположно $\vec B$ в зазоре — типично для постоянного магнита).