Условие задачи: Неподвижная частица массы \( M \) распадается на две частицы с массами \( m_1 \) и \( m_2 \). Определить кинетические энергии образовавшихся частиц.

Исходная частица покоится, поэтому:

* Закон сохранения энергии: \[ Mc^2 = E_1 + E_2 \] где \( E_1 \) и \( E_2 \) - полные энергии частиц.

* Закон сохранения импульса: \[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad |\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = p \]

Для релятивистских частиц: \[ E_1^2 = p^2c^2 + m_1^2c^4 \] \[ E_2^2 = p^2c^2 + m_2^2c^4 \]

Из закона сохранения энергии: \( E_2 = Mc^2 - E_1 \)

Подставляем в формулу для \( E_2^2 \): \[ (Mc^2 - E_1)^2 = p^2c^2 + m_2^2c^4 \]

Используем \( p^2c^2 = E_1^2 - m_1^2c^4 \): \[ M^2c^4 - 2Mc^2E_1 + E_1^2 = E_1^2 - m_1^2c^4 + m_2^2c^4 \]

Упрощаем: \[ M^2c^4 - 2Mc^2E_1 = m_2^2c^4 - m_1^2c^4 \]

Выражаем \( E_1 \): \[ E_1 = \frac{M^2c^4 + m_1^2c^4 - m_2^2c^4}{2Mc^2} \]

Аналогично для \( E_2 \): \[ E_2 = \frac{M^2c^4 + m_2^2c^4 - m_1^2c^4}{2Mc^2} \]

Кинетическая энергия: \( K = E - mc^2 \)

Для первой частицы: \[ K_1 = E_1 - m_1c^2 = \frac{M^2c^4 + m_1^2c^4 - m_2^2c^4}{2Mc^2} - m_1c^2 \]

Приводим к общему знаменателю: \[ K_1 = \frac{M^2c^4 + m_1^2c^4 - m_2^2c^4 - 2M m_1 c^4}{2Mc^2} \]

Группируем: \[ K_1 = \frac{c^4[(M - m_1)^2 - m_2^2]}{2Mc^2} \]

Используем разность квадратов: \[ K_1 = \frac{c^2[(M - m_1) - m_2][(M - m_1) + m_2]}{2M} \]

Окончательно: \[ K_1 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M - (m_1 - m_2)] c^2}{2M} \]

Аналогично для второй частицы: \[ K_2 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M - (m_2 - m_1)] c^2}{2M} \]

Кинетические энергии образовавшихся частиц:

\[ \boxed{K_1 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M - (m_1 - m_2)] c^2}{2M}} \]

\[ \boxed{K_2 = \frac{[M - (m_1 + m_2)][M + (m_1 - m_2)] c^2}{2M}} \]

Примечание: Формулы справедливы в релятивистском случае.