Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- mmf2-6-1 [2026/03/25 07:11] – root
+++ mmf2-6-1 [2026/03/25 07:17] (текущий) – [1. Модель атома Бора] root
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-====== Решение задач по атомной и ядерной физике ======
+====== Решение задач по атомной и ядерной физике (с выводами) ======
 ===== 1. Модель атома Бора =====
+Модель Бора основана на двух предположениях:
+  * электрон движется по круговой орбите под действием кулоновской силы;
+  * момент импульса квантуется: $m_e v r = n\hbar$.
+---
 ==== а) Характерные размеры атома и электрона ====
-Боровский радиус: <math>a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e e^2} = 5.29 \cdot 10^{-11},\text{м}</math>
+Кулоновская сила обеспечивает центростремительное ускорение:
+$$
+\frac{m_e v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}
+$$
+Отсюда:
+$$
+m_e v^2 = \frac{e^2}{r}
+$$
+Из условия квантования:
+$$
+m_e v r = n\hbar \Rightarrow v = \frac{n\hbar}{m_e r}
+$$
+Подставляем в первое уравнение:
+$$
+m_e \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r^2} = \frac{e^2}{r}
+$$
+$$
+\frac{n^2 \hbar^2}{m_e r^2} = \frac{e^2}{r}
+$$
+Отсюда радиус орбиты:
+$$
+r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2}
+$$
+Для основного состояния ($n=1$):
+$$
+a_0 = \frac{\hbar^2}{m_e e^2} \approx 5.29 \cdot 10^{-11},\text{м}
+$$
-Размер атома: <math>r_{\text{ат}} \sim a_0 \approx 5.3 \cdot 10^{-11},\text{м}</math>
+**Размер атома:** $r \sim a_0$
-Классический радиус электрона: <math>r_e = \frac{e^2}{m_e c^2} \approx 2.8 \cdot 10^{-15},\text{м}</math>
+Классический радиус электрона определяется из равенства энергии поля и покоя:
+$$
+\frac{e^2}{r_e} \sim m_e c^2 \Rightarrow r_e = \frac{e^2}{m_e c^2}
+$$
-**Ответ:** <math>r_{\text{ат}} \sim 10^{-10},\text{м}, \quad r_e \sim 10^{-15},\text{м}</math>
+$$
+r_e \approx 2.8 \cdot 10^{-15},\text{м}
+$$
 ---
@@ Строка 17: / Строка 61: @@
 ==== б) Плотность вещества в ядре ====
-Радиус ядра: <math>R = r_0 A^{1/3}, \quad r_0 \approx 1.2 \cdot 10^{-15},\text{м}</math>
+Экспериментально:
+$$
+R = r_0 A^{1/3}, \quad r_0 \approx 1.2 \cdot 10^{-15},\text{м}
+$$
-Плотность: <math>\rho \sim \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}</math>
+Объём ядра:
+$$
+V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_0^3 A
+$$
-Подстановка: <math>\rho \approx 2.3 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3</math>
+Масса:
+$$
+M \approx A m_N
+$$
-**Ответ:** <math>\rho \sim 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3</math>
+Плотность:
+$$
+\rho = \frac{M}{V} = \frac{A m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 A}
+$$
+Сокращаем $A$:
+$$
+\rho = \frac{m_N}{\frac{4}{3}\pi r_0^3}
+$$
+$$
+\rho \approx 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3
+$$
 ---
@@ Строка 29: / Строка 94: @@
 ==== в) Уровни энергии водородоподобного атома ====
-<math>E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}</math>
+Полная энергия:
+$$
+E = \frac{m_e v^2}{2} - \frac{e^2}{r}
+$$
-Для водорода: <math>E_1 = -13.6,\text{эВ}, \quad E_2 = -3.4,\text{эВ}, \quad E_3 = -1.51,\text{эВ}</math>
+Из ранее полученного:
+$$
+m_e v^2 = \frac{e^2}{r}
+$$
+Тогда:
+$$
+E = \frac{e^2}{2r} - \frac{e^2}{r} = -\frac{e^2}{2r}
+$$
+Подставляем радиус:
+$$
+r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e e^2}
+$$
+$$
+E_n = -\frac{e^2}{2} \cdot \frac{m_e e^2}{n^2 \hbar^2}
+$$
+$$
+E_n = -\frac{m_e e^4}{2\hbar^2 n^2}
+$$
+С учётом заряда ядра $Z$:
+$$
+E_n = -\frac{m_e e^4 Z^2}{2\hbar^2 n^2}
+$$
+Численно:
+$$
+E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}
+$$
 ---
@@ Строка 37: / Строка 136: @@
 ==== г) Потенциал ионизации водорода ====
-<math>I = 13.6,\text{эВ}</math>
+Ионизация — переход с $E_1$ на $E=0$:
+$$
+I = |E_1| = 13.6,\text{эВ}
+$$
-**Ответ:** <math>U_i = 13.6,\text{В}</math>
+Так как $1,\text{эВ} = e \cdot 1,\text{В}$:
+$$
+U_i = 13.6,\text{В}
+$$
 ---
@@ Строка 45: / Строка 150: @@
 ==== д) Время жизни классического атома ====
-<math>t \sim 10^{-11},\text{с}</math>
+Электрон излучает по формуле Лармора:
+$$
+P = \frac{2e^2 a^2}{3c^3}
+$$
+Ускорение:
+$$
+a = \frac{v^2}{r}
+$$
+Энергия орбиты:
+$$
+E \sim -\frac{e^2}{2r}
+$$
+Оценка времени:
+$$
+t \sim \frac{E}{P} \sim 10^{-11},\text{с}
+$$
+Это показывает нестабильность классического атома.
 ---
@@ Строка 51: / Строка 176: @@
 ===== 2. Ионизация атома He =====
-Первая энергия ионизации: <math>I_1 = 24.6,\text{эВ}</math>
+Первая энергия дана:
+$$
+I_1 = 24.6,\text{эВ}
+$$
-Вторая энергия (He⁺): <math>I_2 = 13.6 \cdot 4 = 54.4,\text{эВ}</math>
+После удаления одного электрона:
+получаем $\text{He}^+$ — водородоподобный атом с $Z=2$.
-Полная энергия: <math>I = I_1 + I_2 = 79,\text{эВ}</math>
+Энергия:
+$$
+E_1 = -13.6 Z^2 = -54.4,\text{эВ}
+$$
-**Ответ:** <math>79,\text{эВ}</math>
+Значит:
+$$
+I_2 = 54.4,\text{эВ}
+$$
+Полная энергия:
+$$
+I = I_1 + I_2 = 79,\text{эВ}
+$$
 ---
@@ Строка 63: / Строка 203: @@
 ===== 3. Вероятность распада =====
-Среднее время жизни: <math>\tau = 10,\text{дней}</math>
+Закон распада:
+$$
+N(t) = N_0 e^{-t/\tau}
+$$
-Вероятность: <math>W = e^{-4/10} - e^{-5/10}</math>
+Вероятность того, что атом НЕ распался:
+$$
+P(t) = e^{-t/\tau}
+$$
-<math>W \approx 0.064</math>
+Вероятность распада в интервале $[t_1, t_2]$:
+$$
+W = P(t_1) - P(t_2)
+$$
-**Ответ:** <math>W \approx 6.4%</math>
+Для пятого дня:
+$$
+W = e^{-4/10} - e^{-5/10}
+$$
+$$
+W \approx 0.064
+$$
 ---
-===== 4. Кулоновский барьер для \alpha-распада =====
+===== 4. Кулоновский барьер =====
-Радиус ядра: <math>R \approx 7.4,\text{фм}</math>
+Потенциальная энергия взаимодействия:
+$$
+U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z_1 Z_2 e^2}{R}
+$$
-Потенциал: <math>U_C = \frac{1.44 \cdot 180}{7.4},\text{МэВ}</math>
+Для $\alpha$-частицы:
+$$
+Z_1 = 2,\quad Z_2 = 90
+$$
+Используем:
+$$
+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = 1.44,\text{МэВ}\cdot\text{фм}
+$$
+Радиус:
+$$
+R = r_0 A^{1/3} \approx 7.4,\text{фм}
+$$
+Тогда:
+$$
+U \approx \frac{1.44 \cdot 180}{7.4} \approx 35,\text{МэВ}
+$$
+---
-<math>U_C \approx 35,\text{МэВ}</math>
+====== Итоговые ответы ======
-**Ответ:** <math>U_C \approx 35,\text{МэВ}</math>
+  * $r_{\text{ат}} \sim 10^{-10},\text{м}$
+  * $r_e \sim 10^{-15},\text{м}$
+  * $\rho \sim 2 \cdot 10^{17},\text{кг/м}^3$
+  * $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2},\text{эВ}$
+  * $U_i = 13.6,\text{В}$
+  * $t \sim 10^{-11},\text{с}$
+  * $I_{\text{He}} = 79,\text{эВ}$
+  * $W \approx 6.4%$
+  * $U_C \approx 35,\text{МэВ}$
 ---