Условие задачи: Фотон рассеивается на неподвижном электроне. Определить изменение длины волны фотона Δλ от угла рассеяния θ (комптон-эффект).

Рассмотрим рассеяние фотона с начальной энергией \( E = \hbar \omega \) и импульсом \( p = \hbar \omega / c \) на неподвижном электроне массы \( m \).

После рассеяния: - Фотон имеет энергию \( E' = \hbar \omega' \) и импульс \( p' = \hbar \omega' / c \) - Электрон приобретает энергию \( E_e = \sqrt{p_e^2 c^2 + m^2 c^4} \) и импульс \( \vec{p}_e \)

Законы сохранения:

* Энергии: \[ \hbar \omega + m c^2 = \hbar \omega' + \sqrt{p_e^2 c^2 + m^2 c^4} \]

* Импульса (в проекциях): \[ \frac{\hbar \omega}{c} = \frac{\hbar \omega'}{c} \cos \theta + p_e \cos \phi \] \[ 0 = \frac{\hbar \omega'}{c} \sin \theta - p_e \sin \phi \] где \( \theta \) - угол рассеяния фотона, \( \phi \) - угол вылета электрона.

Исключим углы и импульс электрона. Перепишем закон сохранения энергии: \[ \hbar \omega - \hbar \omega' + m c^2 = \sqrt{p_e^2 c^2 + m^2 c^4} \]

Возведем в квадрат: \[ (\hbar \omega - \hbar \omega' + m c^2)^2 = p_e^2 c^2 + m^2 c^4 \]

Из законов сохранения импульса найдем \( p_e^2 \): \[ p_e^2 = \left(\frac{\hbar \omega}{c} - \frac{\hbar \omega'}{c} \cos \theta\right)^2 + \left(\frac{\hbar \omega'}{c} \sin \theta\right)^2 \] \[ p_e^2 = \frac{\hbar^2}{c^2} (\omega^2 + \omega'^2 - 2\omega \omega' \cos \theta) \]

Подставим в уравнение энергии: \[ (\hbar \omega - \hbar \omega' + m c^2)^2 = \hbar^2 (\omega^2 + \omega'^2 - 2\omega \omega' \cos \theta) + m^2 c^4 \]

Раскроем скобки слева: \[ \hbar^2 \omega^2 + \hbar^2 \omega'^2 - 2\hbar^2 \omega \omega' + 2m c^2 \hbar (\omega - \omega') + m^2 c^4 \]

Приравниваем к правой части и сокращаем \( m^2 c^4 \): \[ \hbar^2 \omega^2 + \hbar^2 \omega'^2 - 2\hbar^2 \omega \omega' + 2m c^2 \hbar (\omega - \omega') = \hbar^2 (\omega^2 + \omega'^2 - 2\omega \omega' \cos \theta) \]

Упрощаем: \[ - 2\hbar^2 \omega \omega' + 2m c^2 \hbar (\omega - \omega') = - 2\hbar^2 \omega \omega' \cos \theta \]

Делим на \( 2\hbar \): \[ - \hbar \omega \omega' + m c^2 (\omega - \omega') = - \hbar \omega \omega' \cos \theta \]

Переносим члены: \[ m c^2 (\omega - \omega') = \hbar \omega \omega' (1 - \cos \theta) \]

Разделим на \( \omega \omega' \): \[ m c^2 \left(\frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega}\right) = \hbar (1 - \cos \theta) \]

Учитывая связь \( \omega = 2\pi c / \lambda \), получаем: \[ \frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega} = \frac{\lambda' - \lambda}{2\pi c} \]

Подставляем: \[ m c^2 \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{2\pi c} = \hbar (1 - \cos \theta) \]

Упрощаем: \[ \lambda' - \lambda = \frac{2\pi \hbar}{m c} (1 - \cos \theta) \]

Вводим комптоновскую длину волны электрона: \[ \lambda_c = \frac{h}{m c} = \frac{2\pi \hbar}{m c} \]

Окончательно: \[ \boxed{\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta)} \]

Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии: \[ \Delta \lambda = \frac{h}{m c} (1 - \cos \theta) \]

где: - \( h \) - постоянная Планка, - \( m \) - масса электрона, - \( c \) - скорость света, - \( \theta \) - угол рассеяния фотона.

Комптоновская длина волны электрона: \( \lambda_c = \frac{h}{m c} \approx 2.43 \times 10^{-12} \) м.