Движение заряженных частиц в электромагнитных полях

Условие: Частица массы $m$ с зарядом $q$ влетает в однородное электрическое поле $\vec{E}$ со скоростью $\vec{v}_0$, причём $\vec{v}_0 \perp \vec{E}$. Найти скорость и траекторию частицы.

Решение:

Выберем систему координат: - $\vec{E} = (0, E, 0)$ - начальная скорость $\vec{v}_0 = (v_0, 0, 0)$

Релятивистский фактор: $$\gamma_0 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}}$$

Уравнения движения: $$\frac{d}{dt}(\gamma m \vec{v}) = q\vec{E}$$

Проекции уравнений: $$\frac{d}{dt}(\gamma m v_x) = 0, \quad \frac{d}{dt}(\gamma m v_y) = qE$$

Из первого уравнения: $$\gamma v_x = \text{const} = \gamma_0 v_0$$

Из второго: $$\frac{d}{dt}(\gamma v_y) = \frac{qE}{m}$$

Интегрируем: $$\gamma v_y = \frac{qE}{m}t$$

Релятивистский фактор: $$\gamma = \sqrt{1 + \left(\frac{\gamma_0 v_0}{c}\right)^2 + \left(\frac{qEt}{mc}\right)^2} = \sqrt{\gamma_0^2 + \left(\frac{qEt}{mc}\right)^2}$$

Скорость частицы: $$v_x(t) = \frac{\gamma_0 v_0}{\sqrt{\gamma_0^2 + \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2 c^2}}}, \quad v_y(t) = \frac{q E t}{m \sqrt{\gamma_0^2 + \frac{q^2 E^2 t^2}{m^2 c^2}}}$$

Траектория в параметрическом виде: $$x(t) = \frac{\gamma_0 v_0}{a} \ln \left( \frac{a t + \sqrt{\gamma_0^2 + a^2 t^2}}{\gamma_0} \right), \quad y(t) = \frac{c}{a} \left( \sqrt{\gamma_0^2 + a^2 t^2} - \gamma_0 \right)$$ где $a = \frac{q E}{m c}$.

Условие: Частица массы $m$ с зарядом $q$ влетает в однородное магнитное поле $\vec{B}$ со скоростью $\vec{v}_0$, составляющей угол $\alpha$ с $\vec{B}$. Определить характер движения.

Решение:

Сила Лоренца: $$\vec{F} = \frac{q}{c}[\vec{v} \times \vec{B}]$$

Разложим скорость на составляющие: - $v_\parallel = v_0 \cos \alpha$ - вдоль поля - $v_\perp = v_0 \sin \alpha$ - перпендикулярно полю

Движение вдоль поля равномерное: $$z(t) = v_\parallel t$$

Движение в плоскости, перпендикулярной полю - равномерное по окружности: $$\frac{m v_\perp^2}{R} = \frac{|q| v_\perp B}{c}$$

Радиус витка: $$R = \frac{m v_0 \sin \alpha c}{|q| B}$$

Период обращения: $$T = \frac{2\pi R}{v_\perp} = \frac{2\pi m c}{|q| B}$$

Шаг винта: $$h = v_\parallel T = \frac{2\pi m v_0 \cos \alpha c}{|q| B}$$

Движение частицы - винтовая линия (спираль).

Условие: Электрон вылетает перпендикулярно границе раздела однородных магнитных полей $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$, параллельных друг другу. Найти дрейфовую скорость электрона вдоль границы.

Решение:

Пусть граница - плоскость $z = 0$, поля направлены вдоль $y$, начальная скорость $\vec{V}_0$ вдоль $z$.

В однородном поле электрон движется по окружности радиуса: $$R = \frac{m V_0 c}{|e| B}$$

При переходе через границу радиус кривизны траектории меняется: - В области $B_1$: $R_1 = \frac{m V_0 c}{|e| B_1}$ - В области $B_2$: $R_2 = \frac{m V_0 c}{|e| B_2}$

Средний дрейф за один период: $$v_d = \frac{2 V_0}{\pi} \cdot \frac{B_2 - B_1}{B_1 + B_2}$$

Направление дрейфа: - при $B_2 > B_1$ - в положительном направлении оси $x$ - при $B_2 < B_1$ - в отрицательном направлении

Условие: Однородные поля $\vec{E}$ и $\vec{B}$ параллельны и направлены вдоль оси $y$. Частица массы $m$ влетает со скоростью $\vec{v}_0$. Определить характер движения в случаях: а) $\vec{v}_0 \parallel \vec{E}$ б) $\vec{v}_0 \perp \vec{E}$

Решение:

Поля: $\vec{E} = (0, E, 0)$, $\vec{B} = (0, B, 0)$

Циклотронная частота: $\omega = \frac{|q| B}{m c}$

а) Начальная скорость параллельна полям:

Уравнения движения: $$m\ddot{x} = 0, \quad m\ddot{y} = qE, \quad m\ddot{z} = 0$$

Решение: $$v_x = 0, \quad v_y = v_0 + \frac{q E}{m}t, \quad v_z = 0$$ $$x = 0, \quad y = v_0 t + \frac{q E}{2m}t^2, \quad z = 0$$

Движение - равноускоренное вдоль оси $y$.

б) Начальная скорость перпендикулярна полям:

Пусть $\vec{v}_0 = (v_0, 0, 0)$

Уравнения движения: $$m\ddot{x} = \frac{q}{c}(\dot{y}B_z - \dot{z}B_y) = -\frac{q}{c}\dot{z}B$$ $$m\ddot{y} = qE + \frac{q}{c}(\dot{z}B_x - \dot{x}B_z) = qE$$ $$m\ddot{z} = \frac{q}{c}(\dot{x}B_y - \dot{y}B_x) = \frac{q}{c}\dot{x}B$$

Решение для скоростей: $$v_x = v_0 \cos(\omega t), \quad v_y = \frac{q E}{m}t, \quad v_z = v_0 \sin(\omega t)$$

Положение: $$x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t), \quad y(t) = \frac{q E}{2m} t^2, \quad z(t) = \frac{v_0}{\omega} (1 - \cos(\omega t))$$

Траектория — helix с увеличивающимся шагом из-за ускорения вдоль $y$.