Последовательно вводим необходимые понятия: U, I, R, C, L, E.

Для последовательного включения знаем, что заряды на каждом из конденсаторов одинаковые, следовательно, падение напряжения на всей схеме выражается следующим образом:

$$U = U_1 + U_2 + \dots + U_n = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} + \dots + \frac{Q}{C_n}$$

$$\frac{1}{C} = \frac{U}{Q} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$$

При параллельном включении одинаковыми будут напряжения на каждом из конденсаторов, заряд же на каждом из конденсаторов свой, причем эти заряды складываются. Отсюда

$$C = \frac{Q}{U} = \frac{Q_1 + Q_2 + \dots + Q_n}{U} = C_1 + C_2 + \dots + C_n$$

Давайте сразу найдем индуктивность параллельного соединения двух катушек:

Очевидно, что ЭДС катушек складываются, а ток через каждую из катушек одинаковый. Отсюда

$$L = -\frac{E}{I} = -\frac{E_1 + E_2 + \dots + E_n}{I} = L_1 + L_2 + \dots + L_n$$

Делитель напряжения – устройство, в котором входное и выходное напряжение связаны коэффициентом передачи $0 \le K \le 1$.

Для резистивного делителя ток через резисторы течет одинаковый, следовательно:

$$R_{\text{общ}} = R_1 + R_2,$$ $$I = \frac{U_0}{R_{\text{общ}}} = \frac{U_0}{R_1 + R_2},$$ $$U = R_2 I = U_0 \frac{R_2}{R_1 + R_2}.$$

Для расчета емкостного делителя важно понять, что заряды на конденсаторах одинаковые, следовательно, можно через них выразить неизвестные напряжения на них:

$$Q_1 = Q_2 = Q,$$ $$U_1 = \frac{Q}{C_1}, \quad U_2 = \frac{Q}{C_2},$$ $$U_1 + U_2 = U_0 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \Rightarrow Q = U_0 \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2},$$ $$U = U_2 = U_0 \frac{C_1}{C_1 + C_2}.$$

Схемы даны на рисунке. Найти: а) заряд конденсатора емкостью 4 мкФ; б) напряжение между точками А и В.

В схеме (а) конденсатор можно рассматривать как разрыв цепи, следовательно, такая схема эквивалентна схеме:

На резисторе 1 напряжение $$U_1 = 30 \cdot \frac{10}{10 + 50} = 20\; \text{В}.$$ На конденсаторе, как нетрудно понять, напряжение будет таким же. Отсюда заряд на конденсаторе: $$Q = CU = 20 \cdot 4 \cdot 10^{-6} = 80 \cdot 10^{-6} \; \text{Кл} = 80 \; \text{мкКл}.$$

В схеме (б) аналогичные рассуждения приводят к выводу, что в ветке, где находится резистор и конденсатор, ток не течет, а все напряжение падает на конденсаторе. Остаются два одинаковых резистора, напряжение на них делится пополам. Отсюда $$U_{AB} = \frac{12}{2} = 6 \; \text{В}.$$

В схеме (а) два источника ЭДС работают как один источник ЭДС с $E = E_1 + E_2$.

Если в схеме (б) используются идеальные источники ЭДС, то такая схема бессмысленна и некорректна. Смысл такой схемы появляется, если используются реальные источники (в которых есть ограничение по току) с одинаковым значением ЭДС. Тогда, хотя ЭДС схемы и не поменяется, но ток такая схема может отдавать гораздо больше: $I = I_1 + I_2$.

Аналогичные рассуждения (только с точностью до наоборот) относительно схем (в) и (г).

При параллельном соединении источника тока и источника ЭДС (е) эквивалентный источник является источником ЭДС. При последовательном соединении источника тока и источника ЭДС (д) эквивалентный источник является источником тока. Такие схемы можно назвать не имеющими смысла.

(Решение обычно даётся в курсе электротехники: при $R_{\text{н}} = r_{\text{вн}}$.)

Дано: $E_1 = 10\; \text{В}, E_2 = 30\; \text{В}, r_1 = 2\; \text{Ом}, r_2 = 3\; \text{Ом}, R_{\text{н}} = 4.8\; \text{Ом}$.

(Здесь требуется решить схему с двумя источниками и нагрузкой. Обычно применяется метод контурных токов.)

$$U_x = \mathcal{E} \frac{R_x \parallel R_2}{R_1 + R_x \parallel R_2} = \mathcal{E} \frac{R_x R_2}{R_1 R_2 + R_x (R_1 + R_2)},$$ $$P_x = \frac{U_x^2}{R_x} = \mathcal{E}^2 R_2^2 \frac{R_x}{\left(R_1 R_2 + R_x (R_1 + R_2)\right)^2}.$$ $$\frac{dP_x}{dR_x} = 0 \Rightarrow R_x = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$$

(Обычно оценка делается по мощности: $R = \frac{U^2}{P}$, для чайника мощностью 2 кВт при напряжении 220 В получается около 24 Ом.)

(Скорость дрейфа оценивается по формуле $v = \frac{I}{n e S}$, где $n$ – концентрация электронов, $e$ – заряд электрона, $S$ – площадь сечения провода. Для типичных токов получаются величины порядка $10^{-4} \div 10^{-3}$ м/с.)